Assioma di Dedekind
Ogni sottoinsieme non vuoto di \(\R\) superiormente limitato ammette l’estremo superiore.
Possiamo enunciare l’assioma nella seguente forma equivalente:
Siano \(A\) e \(B\) due sottoinsiemi non vuoti di \(\R\).
Se presi qualunque \(a \in A\) e \(b \in B\) vale \(a \leq b\), allora esiste certamente un elemento separatore \(x \in \R \) tale che \(a \leq x \leq b\) per ogni \(a \in A\) e \(b \in B\).
In particolare, se \(A \cup B = \R\), allora l’elemento separatore è unico e coincide con l’estremo superiore di \(A\) e l’estremo inferiore di \(B\).
Chiaramente, l’assioma non vale in \(\mathbb{Q}\) (Per esempio, l’insieme \(\set{ x \in \mathbb{Q} \ \mid \ x \leq \sqrt{2} }\) non ammette estremo superiore in \(\mathbb{Q}\)).
L’assioma di Dedekind formalizza infatti l’idea intuitiva che sulla retta dei
numeri reali non ci devono essere dei buchi. Per questo, l’assioma viene anche spesso chiamato l’assioma di completezza o l’assioma di continuità dei numeri reali.
Mostriamo che le due formulazioni dell’assioma sono effettivamente equivalenti.
Dimostrazione
\((\implies)\)
Prendiamo \(A\) e \(B\) due sottoinsiemi non vuoti di \(\R\) tali che \(\forall a \in A\) e \(\forall b \in B\) vale \(a \leq b\). Osserviamo che \(A\) è superiormente limitato (in particolare ogni elemento di \(B\) è un maggiorante di \(A\)) e dunque ammette l’estremo superiore.
Sia \(\alpha \in \R\) l’estremo superiore di \(A\).
\(\implies \forall \varepsilon > 0 \enspace \exists a \in A \ \mid \ 0 \leq \alpha - a < \varepsilon\)
Chiaramente, \(\alpha\) è un maggiorante di \(A\). Mostriamo che è anche un minorante di \(B\). Supponiamo per assurdo che \(\alpha\) non sia un minorante di \(B\), ovvero che esista \(b \in B\) tale che \(\alpha > b\), ovvero \(\alpha - b > 0\).
Ponendo \(\varepsilon \coloneqq \alpha - b > 0\), esiste dunque \(a \in A\) tale che:
\[0 \leq \alpha - a < \alpha - b\]\[-\alpha \leq -a < -b\]\[a > b\]\((\impliedby)\)
Sia \(A\) un sottoinsieme non vuoto di \(\R\) superiormente limitato.
\[B \coloneqq \set{ x \in \R \ \mid \ x \geq a, \enspace \forall a \in A } \implies \exists c \in \R \ \mid \ \forall a \in A \enspace \forall b \in B, \enspace a \leq c \leq b\]\(c\) è ovviamente un maggiorante di \(A\).
Osservo che \(B = \set{ x \in \R \mid x \text{ è maggiorante di } A }\).
Quindi \(c\) è anche un minorante dell’insieme di tutti i maggioranti di \(A\), dunque è proprio per definizione l’estremo superiore di \(A\).
\(\square\)
Conseguenze dell’assioma di Dedekind
Principio di Archimede
Dati qualuque \(\varepsilon, M \in \R\) strettamente positivi, esiste \(n \in \N\) tale che \(n \varepsilon > M\).
In altre parole, indipendentemente da quanto sia grande \(M\) o quanto sia piccolo \(\varepsilon\), possiamo sempre sommare \(\varepsilon\) a se stesso un numero finito di volte in modo tale che la somma sia maggiore di \(M\).
Dimostrazione
Per assurdo supponiamo che esistono \(\varepsilon\) e \(M\) maggiore di zero tali che \(n \varepsilon \leq M \enspace \forall n \in \N\).
Poniamo \(N \coloneqq \set{ n \varepsilon \mid n \in \N }\).
\(M\) è un maggiorante di \(N\) \(\implies\) \(N\) è superiormente limitato.
Sia \(\alpha\) l’estremo superiore di \(N\).
\(\implies \forall \delta > 0 \enspace \exists \bar{n} \in \N \ \mid \ 0 \leq \alpha - \bar{n} \varepsilon < \delta\)
\(\implies \forall n \geq \bar{n}, \enspace \alpha - n \varepsilon < \delta\)
Pongo \(\delta \coloneqq \varepsilon\) e \(n \coloneqq \bar{n} + 1\).
\(\implies \alpha - \bar{n} \varepsilon = \alpha - (n-1) \varepsilon = \alpha - n \varepsilon + \varepsilon < \delta = \varepsilon\)
\(\implies \alpha - n \varepsilon < 0 \)
\(\implies \alpha < n \varepsilon\)
\(\square\)
Teorema della convergenza delle successioni monotone limitate
Una successione reale monotona crescente converge se e soltanto se è limitata. Inoltre, se converge, il suo limite è uguale all’estremo superiore della sua immagine.
Dimostrazione
Ovviamente una successione convergente è anche limitata.
Sia \(\{a_n\}_{n \in \N}\) una successione reale, limitata e monotona crescente e sia \(\alpha\) l’estremo superiore della sua immagine.
\(\implies \forall \varepsilon > 0 \enspace \exists \bar{n} \in \N \ \mid \ 0 \leq \alpha - a_{\bar{n}} < \varepsilon\)
\(\implies \forall n \geq \bar{n}, \enspace 0 \leq \alpha - a_n < \varepsilon\)
\(\implies \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \alpha\)
\(\square\)
Assioma di Cantor
Se \(\{I_n = [a_n, b_n]\}_{n \in \N}\) è una successione di intervalli chiusi e limitati non degenere (ovvero \(a_n < b_n \enspace \forall n \in \N\)) tali che:
- \(\forall n \in \N, \enspace I_{n+1} \sube I_n\)
- \(|a_n - b_n| \to 0\)
Allora la loro intersezione è non vuoto e contiene uno e un solo elemento. Inoltre, tale elemento è anche il limite delle due successioni monotone \(\{a_n\}_{n \in \N}\) e \(\{b_n\}_{n \in \N}\).
Dimostrazione
Osserviamo che \(\{a_n\}\) è monotona crescente, mentre \(\{b_n\}\) è monotona decrescente.
Inoltre, vale \(a_0 \leq a_n \leq b_n \leq b_0 \enspace \forall n \in \N\). Questo ci dice che le due successioni sono entrambe limitate e dunque sono anche convergenti.
Sia \(\alpha \coloneqq \lim\limits_{n \to \infty} a_n\) e sia \(\beta \coloneqq \lim\limits_{n \to \infty} b_n\).
Mostriamo che \(\alpha = \beta \in \underset{n \in \N}{\bigcap} I_n \eqqcolon I\).
\[\forall n \in \N, \enspace |\alpha - \beta| \leq |\alpha - a_n| + |a_n - b_n| + |b_n - \beta|\]Fissato \(\varepsilon > 0\), per la convergenza di \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) e \(\{|a_n - b_n|\}_{n \in \N}\), esisterà un certo \(\bar{n} \in \N\) tale che per ogni \(n \geq \bar{n}\) vale:
\[|\alpha - \beta| \leq |\alpha - a_n| + |a_n - b_n| + |b_n - \beta| < \varepsilon\]E dunque per l’arbitrarietà di \(\varepsilon\) e per il principio di Archimede otteniamo che \(|\alpha - \beta| = 0\), ovvero \(\alpha = \beta \eqqcolon l\).
Per il teorema della convergenza delle successioni monotone limitate vale inoltre \(l = \underset{n \in \N}{sup}\{a_n\} = \underset{n \in \N}{inf}\{b_n\}\).
\(\implies \forall n \in \N, \enspace a_n \leq l \leq b_n\)
\(\implies \forall n \in \N, \enspace l \in I_n\)
\(\implies l \in I\)
Mostriamo infine che dati due elementi \(l_1\) e \(l_2\) in \(I\), questi sono uguali.
Infatti, \(|l_1 - l_2| \leq |a_n - b_n| \to 0\) per \(n \to \infty\).
\(\square\)
Teorema di Heine-Borel
Un sottoinsieme chiuso e limitato di \(\R\) è compatto, ovvero da ogni suo ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.
Dimostrazione
Sia \(E\) un sottoinsieme chiuso e limitato di \(\R\). Supponiamo per assurdo che esiste \(\{A_i\}_{i \in I}\) un ricoprimento aperto di \(E\) che non ammette sottoricoprimenti finiti. Certamente \(E\) non può essere un insieme finito, perché altrimenti per ogni \(x\) in \(E\) basta scegliere \(i_x \in I\) tale che \(x \in A_{i_x}\), allora si ha che \(\{A_{i_x}\}_{x \in E}\) è un sottoricoprimento finito.
Sia \(x_0 \coloneqq inf(E), \enspace y_0 \coloneqq sup(E), \enspace z_0 \coloneqq \frac{x_0 + y_0}{2}\).
Certamente, almeno uno tra \([x_0, z_0] \cap E\) e \([z_0, y_0] \cap E\) non può essere ricoperto da un sottoinsieme finito di \(\{A_i\}\). Supponiamo per fissare le idee che \([x_0, z_0] \cap E\) non può essere ricoperto da un sottoinsieme finito di \({A_i}\).
Poniamo dunque \(x_1 \coloneqq x_0, \enspace y_1 \coloneqq z_0, \enspace z_1 \coloneqq \frac{x_1 + y_1}{2}\).
Iterando, \(\forall n \in \N\) troviamo \(x_n\) e \(y_n\) tali che:
- \(\forall n \in \N, \enspace [x_{n+1}, y_{n+1}] \sube [x_n, y_n]\)
- \(|x_n - y_n| = \frac{|x_0 - y_0|}{2^n} \to 0\) per \(n \to \infty\)
- \(\forall n \in \N\), \(E_n \coloneqq [x_n, y_n] \cap E\) non può essere ricoperto da un sottoinsieme finito di \(\{A_i\}\) (di conseguenza è anche infinito)
Per l’assioma di Cantor, esiste \(\bar{z} \in \R\) tale che \(\underset{n \in \N}{\bigcap} [x_n, y_n] = \set{\bar{z}}\).
Per costruzione esiste una successione in \(E\) che converge in \(\bar{z}\). Per la chiusura di \(E\), \(\bar{z}\) sta in \(E\). Esiste dunque \(i_{\bar{z}} \in I\) tale che \(\bar{z} \in A_{i_{\bar{z}}}\).
\(A_{i_{\bar{z}}}\) è un aperto, quindi esiste \(\rho > 0\) tale che \([\bar{z} - \rho, \bar{z} + \rho] \sube A_{i_{\bar{z}}}\).
\(\bar{z} \in E\) e \(\bar{z} \in \underset{n \in \N}{\bigcap}[x_n, y_n]\), dunque \(\bar{z} \in \underset{n \in \N}{\bigcap} E_n\). Sia \(\bar{n} \in \N\) tale che \(\frac{|x_0 - y_0|}{2^{\bar{n}}} < \rho\), allora preso un qualunque \(x \in E_{\bar{n}}\), vale che \(|x - \bar{z}| \leq \rho\), ovvero \(E_{\bar{n}} \sube [\bar{z} - \rho, \bar{z} + \rho] \sube A_{i_{\bar{z}}}\), che è assurdo perché \(E_{\bar{n}}\) non può essere ricoperto da un sottoinsieme finito di \(\{A_i\}\).
\(\square\)
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Ogni successione reale limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione
Sia \(\{x_n\}_{n \in \N}\) una successione reale limitata.
Se esiste \(x \in \R\) tale che \(\#\set{n \in \N \mid x_n = x} = \infty\), allora possiamo certamente costruire una sottosuccessione di \(\{x_n\}\) che vale costantemente \(x\).
Supponiamo dunque \(\{x_n\}\) iniettiva.
Supponiamo per assurdo che \(\{x_n\}\) non ammette sottosuccessioni convergenti, che equivale a dire che l’insieme \(\set{ x_n \mid n \in \N}\) non ammette punti di accumulazione.
Posto dunque \(\alpha \coloneqq \underset{n \in \N}{inf}\{x_n\}, \enspace \beta \coloneqq \underset{n \in \N}{sup}\{x_n\}\), si ha che:
\[\forall x \in [\alpha, \beta] \enspace \exists {\varepsilon}_x > 0 \ \mid \ ((x - {\varepsilon}_x, x + {\varepsilon}_x) \smallsetminus \set{x}) \cap \set{x_n \mid n \in \N} = \emptyset\]Ponendo \(A_x \coloneqq (x - {\varepsilon}_x, x + {\varepsilon}_x) \enspace \forall x \in [\alpha, \beta] \), si ha che \(\{A_x\}_{x \in [\alpha, \beta]}\) è un ricoprimento aperto dell’intervallo \([\alpha, \beta]\) e dunque ammette un sottoricoprimento finito, ovvero esistono \(\xi_1 \dots \xi_m\) un numero finito di punti in \([\alpha, \beta]\) tali che \([\alpha, \beta] \sube \underset{i=1}{\overset{m}{\bigcup}} A_{\xi_i}\). Dunque l’intervallo \([\alpha, \beta]\) contiene al più \(m\) punti appartenenti all’immagine della nostra successione \(\{x_n\}\).
Ma questo è ovviamente assurdo, perché \(\{x_n\}\) è una successione iniettiva e la sua immagine, che è tutta contenuta in \([\alpha, \beta]\), deve essere infinita.
\(\square\)
Criterio di Cauchy
Ogni successione reale di Cauchy è convergente.
Dimostrazione
Sia \(\{a_n\}_{n \in \N}\) una successione reale di Cauchy.
In particolare, \(\{a_n\}\) è una successione limitata.
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste dunque una sottosuccessione convergente \(\{a_{n_k}\}_{k \in \N}\).
\(l \coloneqq \lim\limits_{k \to \infty} a_{n_k} \implies \forall \varepsilon > 0 \enspace \exists \bar{k} \in \N \ \mid \ \forall k \geq \bar{k}, \enspace |a_{n_k} - l| < \varepsilon \)
Mostro che \(a_n \to l\). Fisso \(\varepsilon > 0\).
\(\{a_n\}\) di Cauchy \(\implies \exists \bar{n} \in \N \ \mid \ \forall n,m \geq \bar{n}, \enspace |a_n - a_m| < \varepsilon\)
\(k_{\bar{n}} \coloneqq min\{k \in \N \mid k \geq \bar{k} \enspace \text{e} \enspace n_k \geq \bar{n}\}\)
\(\implies \forall n \geq \bar{n}, \enspace |a_n - l| \leq |a_n - a_{n_{k_{\bar{n}}}}| + |a_{n_{k_{\bar{n}}}} - l| < 2\varepsilon\)
\(\square\)
E’ interessante osservare che, anche se il valere del criterio di Cauchy è proprio per definizione la completezza di uno spazio metrico, esso è comunque strettamente più debole dell’assioma di Dedekind. Per esempio, in \(\Z\), dove ovviamente non vale l’assioma di Dedekind, vale il criterio di Cauchy.
Perché infatti \(\Z\) è chiuso in \(\R\) e dunque è anche completo.
Teorema
Sono equivalenti:
- L’assioma di Dedekind
- Il teorema della convergenza delle successioni monotone limitate e il principio di Archimede
- L’assioma di Cantor e il principio di Archimede
- Il teorema di Heine-Borel e il principio di Archimede
- Il teorema di Bolzano-Weierstrass e il principio di Archimede
- Il criterio di Cauchy e il principio di Archimede